viernes, 24 de septiembre de 2010

teoria de conjuntos


TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS
El término
Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría
de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con
características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos
deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas;
NOTACIÓN
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas
minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto
lanzamiento de un dado.
A, B, C, ... y a los elementos con letrasA cuyos elementos son los números en el
A
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos
finitos e infinitos.
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
FINITOS:
longitud o cantidad.
Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su
El conjunto de días de la semana
INFINITOS:
Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.
El conjunto de los números reales
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de
expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
EXTENSIÓN:
Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A
= {a, e, i, o, u}
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística I
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 2 M. en C. José Luis Hernández González
COMPRENSIÓN:
Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es
elemento de, con el símbolo
= {x | x es una vocal} , en caso contrario .
A
2
TIPOS DE CONJUNTOS
CONJUNTO VACIÓ O NULO:
= {1, 2, 3} A; 5 AEs aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }.
A
El conjunto
= {x2 + 1 = 0 | x R}A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0
CONJUNTO UNIVERSAL:
o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por
Es el conjunto de todos los elementos considerados en una poblaciónU o .
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Considerando el conjunto
cada elemento que pertenece a
A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, siA también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B
pertenece también a
A.
A
SUBCONJUNTO
= B
Si todo elemento de un conjunto
un subconjunto de
A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A esB. Representado por el símbolo .
A
SUBCONJUNTOS PROPIOS
B o B A
Se dice que es un subconjunto propio de
incluidos en él
A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentranA, denotado por .
A
B o B A
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 3 M. en C. José Luis Hernández González
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es
finito con
n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.
A
El total de subconjuntos es:
2
{1,2}, {1}, {2}, { }
= {1, 2 }2 = 4
CONJUNTOS DISJUNTOS
Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que
pertenezcan a ambos.
F
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
G
= {a, b, c, d, e, f}
PARTICIÓN
Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le
denomina partición.
OPERACIONES DE CONJUNTOS
Unión.
Intersección.
Diferencia.
Complemento.
Producto cartesiano.
UNIÓN DE CONJUNTOS.
unión de
pertenecen a
Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. LaA y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A oB.
A
B = {x | x A o x B}
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
universal. La intersección de
pertenecen a
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjuntoA y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos queA y a B simultáneamente, es decir:
A
B = {x | x A y x B}
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 4 M. en C. José Luis Hernández González
DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO.
cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de
el conjunto de los elementos que pertenecen a
Sean A y B dos conjuntosB con respecto a A, esA, pero no pertenecen a B.
A
Nota:
COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO.
cualesquiera del conjunto universal. El complemento de
perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto
- B = {x | x A, x B}A - B B - ASea A un subconjuntoA es el conjunto de elementos queA, denotado por A’ o Ac.
A
Nota:
PRODUCTO CARTESIANO.
cartesiano expresado por
’ = {x | x U, x A}A’ = U - ASean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o productoA x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a A y b B.
A
x B = {(a, b) | a A y b B}
LEYES DE CONJUNTOS
DE IDEMPOTENCIA
A
A = A A A = A
ASOCIATIVA
(
(
CONMUTATIVA
A B) C = A (B C )A B) C = A (B C)
A
B = B A A B = B A
DISTRIBUTIVA
A
(B C) = (A B) (A C)
A
DE IDENTIDAD
(B C) = (A B) (A C)
A
A
U = U A U = A = A A =
DE INVOLUCIÓN
(
A’)’ = AINSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística I

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