ejemplos de combinaciones y permutaciones

P E R M U T A C I O N E S

El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.

Permutaciones En n Objetos

Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:

nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1)

Ejemplo

Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar

el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.

Solución

n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

Permutaciones En Subgrupo De n Objetos

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a:

nPr =    n!



                         ----

                        (n-r)! 

Ejemplo

En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?

Solución

n Pr = 5 P3 = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 60

----       ----      ----------------

            (n - r)!   (5 - 3)!        (2)(1)

C O M B I N A C I O N E S

En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.

Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.

El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es igual a:

nCr =      n! 

                         ----

                       r! (n-r)! 

Ejemplo

Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?

Solución

nCr =10C3 = n! = 10! =10×9x8×7!=10×9x8=720= 120

-------     -------  --------- ------ ---

           r(n - r)!   3!(10–3)!   3!x7!    3×2x1  6

Combinaciones representando la probabilidad

En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.

Ejemplo

En referencia al anterior, del los 10 miembros, seis son mujeres y cuatro son hombres, ¿Cuál es la probabilidad de que de una elección aleatoria de los miembros del comité diera por resultado la selección de dos mujeres y un hombre?

 Número de comités con 2M y 1H = 6 C2 x 4 C1 =

6! x 4! = 6! x 4! = 15 x 4 = 60

2!(6–2)!      1!(4–1)!       2!(4!)       1!(3!)

 Número total de combinaciones posibles = 10 C3 =

10!        =     10!     =  (10)(9)(8)   =   720   = 120

                    3!(10 - 3)!       3!(7!)         (3)(2)(1)           6

 Probabilidad que sean 2H y 1M =

P(2M y 1H) = 6 C2 x 4 C1 = 60 = 0.50

10 C3                      120

Ejercicios sugeridos

a) Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitación administrativa para asignar a ocho empleados en el programa preliminar de capacitación administrativa de una empresa. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?

b) En referencia a la situación descrita en el inciso a, supongamos que sólo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden asignarse los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos

c) En referencia a la situación descrita en el inciso b, supongamos que seis de los lugares disponibles pueden considerarse comparables y en realidad iguales para efectos prácticos. ¿De cuántas maneras pueden elegirse seis de los ocho candidatos para ocupar los seis lugares?

d) Hallar n si n P4 = 42 y n P2

e) Un grupo de proyecto de dos ingenieros y tres técnicos debe formarse a partir de un grupo departamental que incluye a cinco ingenieros y nueve técnicos. ¿Cuántos diferentes grupos de proyecto pueden formarse con los catorce empleados disponibles?

f) En referencia a la situación de asignación descrita en el inciso d, supongamos que los cinco individuos son asignados aleatoriamente a partir de los catorce empleados del departamento, sin referencia al hecho de si cada persona es ingeniero o técnico. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de proyecto incluya a :

1.-Exactamente dos ingenieros;

2.-Ningún ingeniero;

3.-Ningún técnico?

Respuestas:

a) 40320

b) 20160

c) 28

d) 840

e) 1.- P = 0.42, 2.- P = 0.06 y 3.- P = 0.0005