jueves, 30 de septiembre de 2010
sábado, 25 de septiembre de 2010
distribucion binominal
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
- En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
- La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .
- El experimento consta de un número n de pruebas.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0 £ p £ 1
Parámetros de la Distribución Binomial
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial
Función de Distribución de la v.a. Binomial
siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
El cálculo de las F(x) = p( X £x) puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.
Ejemplo 1
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.Solución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).
Ejemplo 2
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedadSolución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)
Ejemplo 3
La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.Solución :
Problemas y ejercicios de la distribución binomial
1La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
2.¿Y cómo máximo 2?
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
3Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
4Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
5La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
6En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
7La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
8En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.
9Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
2.Al menos dos tengan efectos secundarios.
3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
probabilidad
ver pagina de probabilidad el espacio muestral
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html
viernes, 24 de septiembre de 2010
ejemplos de combinaciones y permutaciones
P E R M U T A C I O N E S
El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
Permutaciones En n Objetos
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1)
Ejemplo
Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar
el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
Permutaciones En Subgrupo De n Objetos
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a:
nPr = n!
----
(n-r)!
Ejemplo
En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?
Solución
n Pr = 5 P3 = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 60
---- ---- ----------------
(n - r)! (5 - 3)! (2)(1)
C O M B I N A C I O N E S
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es igual a:
nCr = n!
----
r! (n-r)!
Ejemplo
Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?
Solución
nCr =10C3 = n! = 10! =10×9x8×7!=10×9x8=720= 120
------- ------- --------- ------ ---
r(n - r)! 3!(10–3)! 3!x7! 3×2x1 6
Combinaciones representando la probabilidad
En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.
Ejemplo
En referencia al anterior, del los 10 miembros, seis son mujeres y cuatro son hombres, ¿Cuál es la probabilidad de que de una elección aleatoria de los miembros del comité diera por resultado la selección de dos mujeres y un hombre?
Número de comités con 2M y 1H = 6 C2 x 4 C1 =
6! x 4! = 6! x 4! = 15 x 4 = 60
2!(6–2)! 1!(4–1)! 2!(4!) 1!(3!)
Número total de combinaciones posibles = 10 C3 =
10! = 10! = (10)(9)(8) = 720 = 120
3!(10 - 3)! 3!(7!) (3)(2)(1) 6
Probabilidad que sean 2H y 1M =
P(2M y 1H) = 6 C2 x 4 C1 = 60 = 0.50
10 C3 120
Ejercicios sugeridos
a) Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitación administrativa para asignar a ocho empleados en el programa preliminar de capacitación administrativa de una empresa. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?
b) En referencia a la situación descrita en el inciso a, supongamos que sólo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden asignarse los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos
c) En referencia a la situación descrita en el inciso b, supongamos que seis de los lugares disponibles pueden considerarse comparables y en realidad iguales para efectos prácticos. ¿De cuántas maneras pueden elegirse seis de los ocho candidatos para ocupar los seis lugares?
d) Hallar n si n P4 = 42 y n P2
e) Un grupo de proyecto de dos ingenieros y tres técnicos debe formarse a partir de un grupo departamental que incluye a cinco ingenieros y nueve técnicos. ¿Cuántos diferentes grupos de proyecto pueden formarse con los catorce empleados disponibles?
f) En referencia a la situación de asignación descrita en el inciso d, supongamos que los cinco individuos son asignados aleatoriamente a partir de los catorce empleados del departamento, sin referencia al hecho de si cada persona es ingeniero o técnico. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de proyecto incluya a :
1.-Exactamente dos ingenieros;
2.-Ningún ingeniero;
3.-Ningún técnico?
Respuestas:
a) 40320
b) 20160
c) 28
d) 840
e) 1.- P = 0.42, 2.- P = 0.06 y 3.- P = 0.0005
teoria de conjuntos
TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS
El término
Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría
de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con
características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos
deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas;NOTACIÓN
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas
minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto
lanzamiento de un dado.
A, B, C, ... y a los elementos con letrasA cuyos elementos son los números en elA
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos
finitos e infinitos.
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }FINITOS:
longitud o cantidad.
Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por suEl conjunto de días de la semana
INFINITOS:
Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.El conjunto de los números reales
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de
expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
EXTENSIÓN:
Cuando se describe a cada uno de los elementos.A
= {a, e, i, o, u}INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística I
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 2 M. en C. José Luis Hernández González
COMPRENSIÓN:
Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.A
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es
elemento de, con el símbolo
= {x | x es una vocal} , en caso contrario .A
2
TIPOS DE CONJUNTOS
CONJUNTO VACIÓ O NULO:
= {1, 2, 3} A; 5 AEs aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }.A
El conjunto
= {x2 + 1 = 0 | x R}A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0CONJUNTO UNIVERSAL:
o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por
Es el conjunto de todos los elementos considerados en una poblaciónU o .RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Considerando el conjunto
cada elemento que pertenece a
A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, siA también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a Bpertenece también a
A.A
SUBCONJUNTO
= BSi todo elemento de un conjunto
un subconjunto de
A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A esB. Representado por el símbolo .A
SUBCONJUNTOS PROPIOS
B o B ASe dice que es un subconjunto propio de
incluidos en él
A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentranA, denotado por .A
B o B AINSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística I
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 3 M. en C. José Luis Hernández González
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es
finito con
n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.A
El total de subconjuntos es:
2
{1,2}, {1}, {2}, { }
= {1, 2 }2 = 4CONJUNTOS DISJUNTOS
Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que
pertenezcan a ambos.
F
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}G
= {a, b, c, d, e, f}PARTICIÓN
Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le
denomina partición.
OPERACIONES DE CONJUNTOS
Unión.
Intersección.
Diferencia.
Complemento.
Producto cartesiano.
UNIÓN DE CONJUNTOS.
unión de
pertenecen a
Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. LaA y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A oB.A
B = {x | x A o x B}INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
universal. La intersección de
pertenecen a
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjuntoA y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos queA y a B simultáneamente, es decir:A
B = {x | x A y x B}INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística I
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 4 M. en C. José Luis Hernández González
DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO.
cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de
el conjunto de los elementos que pertenecen a
Sean A y B dos conjuntosB con respecto a A, esA, pero no pertenecen a B.A
Nota:
COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO.
cualesquiera del conjunto universal. El complemento de
perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto
- B = {x | x A, x B}A - B B - ASea A un subconjuntoA es el conjunto de elementos queA, denotado por A’ o Ac.A
Nota:
PRODUCTO CARTESIANO.
cartesiano expresado por
’ = {x | x U, x A}A’ = U - ASean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o productoA x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a A y b B.A
x B = {(a, b) | a A y b B}LEYES DE CONJUNTOS
DE IDEMPOTENCIA
A
A = A A A = AASOCIATIVA
(
(
CONMUTATIVA
A B) C = A (B C )A B) C = A (B C)A
B = B A A B = B ADISTRIBUTIVA
A
(B C) = (A B) (A C)A
DE IDENTIDAD
(B C) = (A B) (A C)A
A
U = U A U = A = A A = DE INVOLUCIÓN
(
A’)’ = AINSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística I
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